Iphone
shpora.me - незаменимый помощник для студентов и школьников, который позволяет быстро создавать и получать доступ к шпаргалкам или другим заметкам с любых устройств. В любое время. Абсолютно бесплатно. Зарегистрироватся | Войти

* данный блок не отображается зарегистрированым пользователям и на мобильных устройствах

ТАСКУ -mike

Тема 11. Типові елементарні ланки систем управління та їх характеристики.

 

11.1 Пропорційна ланка.

 

Пропорційну ланку ще називають безінерційною або підсилюючою. Це ланка, для якої у будь-який момент часу вихідна величина пропорційна вхідною.

Її  рівняння: у(t)= ku(t).

Передатна функція: W(p)=k.

Перехідна характеристика: h(t)=k1(t).

У відповідь на одиничну ступінчасту дію сигнал на виході миттєво досягає величини в k раз більшу, ніж на вході і зберігає це значення (рисунок 11.1). При k=1 ланка ніяк себе не проявляє, а при k =–1 – інвертує вхідний сигнал.

Рисунок 11.1 – Деякі характеристики і інтерпретація пропорційної ланки

 

Будь-яка реальна ланка володіє інерційністю, але з певною точністю деякі реальні ланки можуть розглядатися як безінерційні, наприклад, жорсткий механічний важіль, редуктор, потенціометр, електронний підсилювач, тощо.

Частотні характеристики пропорційної ланки

Передатна функція: W(p)= k.

АФЧХ: W() = k.

ВЧХ: P(ω) = k.

МЧХ: Q(ω) = 0.

АЧХ: A(ω) = k.

ФЧХ: φ(ω) = 0.

ЛАЧХ: L(ω) = 20lg k.

 

Рисунок 11.2 – Деякі частотні характеристики пропорційної ланки

 

Деякі частотні характеристики показані на рисунку 11.2. Ланка пропускає всі частоти однаково із збільшенням амплітуди в до раз і без зрушення по фазі.

 

11.2 Інтегруюча ланка.

 

Інтегруючу ланку ще називають астатичною. Її рівняння

 або  або py=ku

Передатна функція: .

Перехідна характеристика: 

Інтерпретація інтегруючої ланки наведена на рисунку 11.3.

 

Рисунок 11.3 – Деякі характеристики і інтерпретація пропорційної ланки

 

При k=1 ланка є “чистий” інтегратор W(p)= 1/p. Інтегруюча ланка необмежено "накопичує" вхідну дію. Приклади интегруючих ланок: електродвигун, поршневий гідравлічний двигун, ємність і т.п. Введення його в САУ перетворює систему на астатичну, тобто ліквідовує статичну похибку.

Частотні характеристики інтегруючої ланки

Передавальна функція:

Часто о озглядається окремий випадок, коли k=1, тобто

АФЧХ: .

ВЧХ: P(ω) = 0.

МЧХ: .

АЧХ: .

ФЧХ: φ(ω) = –π/2.

ЛАЧХ: L(ω) = 20lg(1/ω) = – 20lg(ω).

 

Рисунок 11.4 – Деякі частотні характеристики інтегруючої ланки

 

Частотні характеристики показані на рисунку 11.4. Всі частоти ланка пропускає із запізнюванням по фазі на 90о. Амплітуда вихідного сигналу збільшується при зменшенні частоти, і зменшується до нуля при зростанні частоти (ланка "завалює" високі частоти). ЛАЧХ є прямою, що проходить через точку L(ω) = 0 при ω = 1. При збільшенні частоти на декаду ордината зменшується на 20lg10 = 20дБ, тобто нахил ЛАЧХ рівний – 20 дБ/дек (децибел на декаду).

 

11.3 Аперіодична ланка.

 

Аперіодичну ланку ще називають інерційною ланкою першого порядку. Її рівняння динаміки

 або Tpy+y=ku

Передатна функція: .

Перехідна характеристика:

Перехідна характеристика має вигляд експоненти (рисунок 11.5), по якій можна визначити передавальний коефіцієнт, рівний сталому значенню h(t), і постійну часу Т за часом t, відповідному точці перетину дотичної до кривої на початку координат з її асимптотою. При великих Т ланка на початковій ділянці може розглядатися як інтегруюча, при малих Т ланку приблизно можна розглядати як безінерційну. Приклади аперіодичної ланки: термопара, електродвигун, чотириполюсник з опору і ємностей або опору і індуктивності.

Рисунок 11.5 – Деякі характеристики і інтерпретація аперіодичної ланки

 

При k=1 отримуємо наступні вирази частотних характеристик.

Передавальна функція: 

АФЧХ: .

ВЧХ: .

МЧХ: .

АЧХ: .

ФЧХ: φ(ω) = φ1– φ2.= – arctg(ωT)

ЛАЧХ: L(ω) = 20lg(A(ω)) = – 10lg(1+(ωT)2).

Тут A1 і A2 – амплітуди чисельника і знаменника ЛФЧХ; φі φ2. – аргументи чисельника і знаменника ЛФЧХ:

Частотні характеристики показані на рисунку 11.6. АФЧХ є півколо радіусом 1/2 з центром в точці P = 1/2. При побудові асимптотичними ЛАЧХ вважають, що при ω < ω1 = 1/T можна знехтувати (ωT)2виразі для L(ω), тобто L(ω) ≈ –10lg1 = 0. При ω > ω1 нехтують одиницею у виразі в дужках, тобто L(ω) ≈ –20lg(ωT). Тому ЛАЧХ проходить уздовж осі абсцис до частоти, що сполучає, потім – під нахилом – 20 дб/дек. Частота ω1 називається сполучною частотою. Максимальна відмінність реальних ЛАЧХ від асимптотичних не перевищує 3 дб при ωω1.

 

Рисунок 11.6 – Частотні характеристики аперіодичної ланки

ЛФЧХ асимптотика прагне до нуля при зменшенні ω до нуля (чим менше частота, тим менше спотворення сигналу по фазі) і до – π//2 при зростанні ω до нескінченності. Перегин в крапці ωωпри φ(ω) = – π/4. ЛФЧХ всіх аперіодичних ланок мають однакову форму і можуть бути побудовані по типовій кривій з паралельним зрушенням уздовж осі частот.

 

11.4 Коливна ланка.

 

Коливну  ланку ще називають інерційною ланкою другого порядку. ЇЇ рівняння:

Передатна функція:

Рішення рівняння залежить від співвідношення постійних часу T1 і T1, яке визначає коефіцієнт загасання

.

Можна записати

де T = T1.

Якщо r≥1, то знаменник W(p) має два істотних корені p1 и p2 и розкладається на два співмножника:

T2p2 + 2rTp + 1 = T2 (p – p1).(p – p2).

Таку ланку можна розкласти на дві аперіодичні ланки першого порядку, тому вона не є елементарною.

При r<1 корені полінома знаменника W(p) комплексно спряжені: p1,2 =α±. Перехідна характеристика є виразом, що характеризує затухаючий коливальний процес із згасанням α і частотою ω (рисунок 11.7). При r=0 коливання носять незгасаючий характер. Така ланка є окремим випадком коливної ланки і називається консервативною. Прикладами коливної ланки можуть служити пружина, що має заспокійливий пристрій, електричний коливальний контур з активним опором, тощо. Знаючи характеристики реального пристрою можна визначити його параметри як коливної ланки. Передавальний коефіцієнт k рівний сталому значенню перехідної функції.

 

Рисунок 11.7 – Деякі характеристики і інтерпретація коливної ланки

 

При k = 1 передатна функція ланки:

.

З причини складності виведення виразів для частотних характеристик розглянемо їх без доказу, вони показані на рисунку 11.8.

 

Рисунок 11.8 – Частотні характеристики коливної ланки

 

Асимптотична ЛАЧХ коливальної ланки до частоти, що сполучає ω1= 1/T1 співпаде з віссю абсцисс, при подальшому збільшенні частоти йде з нахилом  – 40 дб/дек. Тобто високі частоти коливної ланки "заваливалює" сильніше, ніж аперіодична ланка.

Реальна ЛАЧХ при ω≈ωзначно відрізняється від асимптотичної. Ця відмінність тим істотніше, чим менше коефіцієнт демпфування r. Точну криву можна побудувати, скориставшись кривими відхилень, які приводяться в довідниках. У граничному випадку r=0 отримуємо консервативну ланку, в якої при ω≈ωамплітуда вихідних коливань прямує до нескінченності.

ЛФЧХ при малих частотах асимтотично прагне до нуля. При збільшенні частоти до нескінченності вихідний сигнал повертається по фазі щодо вхідного на кут, що прямує в границі до, –180о. ЛФЧХ можна побудувати за допомогою шаблону, але для цього потрібний набір шаблонів для різних коефіцієнтів демпфування. При зменшенні коефіцієнта демпфування АФЧХ наближається до осі абсцис і в границі у консервативної ланки вона вироджується в два промені по осі абсцис, при цьому фаза вихідних коливань стрибком міняється від нуля до –180о під час переходу через спряжену частоту (рисунок 11.9).

 

Рисунок 11.9 – Частотні характеристики коливної ланки при малих частотах

 

11.5 Диференціююча ланка.

 

Розрізняють ідеальну і реальну диференціюючі ланки. Рівняння динаміки ідеальної ланки:

 або у = kpu.

Тут вихідна величина пропорційна швидкості зміни вхідної величини.

Передатна функція: W(p)= kp.

При k=1 ланка здійснює чисте диференціювання W(p)=р.

Перехідна характеристика: h(t)= k 1’(t)= d(t).

Ідеальну диференціюючу ланку реалізувати неможливо, оскільки величина сплеску вихідної величини при подачі на вхід одиничного ступінчастого впливу завжди обмежена. На практиці використовують реальні диференціюючі ланки, що здійснюють наближене диференціювання вхідного сигналу.

Рівняннятакої ланки:

Тру + у = kTpu.

Передатна функція:

 

При малих Т ланку можна розглядати як ідеальне диференціюючу. Перехідна характеристика:

При подачі на вхід одиничної ступінчастої дії вихідна величина виявляється обмежена по величині і розтягнута в часі (рисунок 11.10). По перехідній характеристиці, що має вид експоненти, можна визначити коефіцієнт передачі k і постійну часу Т. Прикладами таких ланок можуть бути чотириполюсник з опору і ємності або опору і індуктивності, демпфер, тощо. Диференціюючі ланки є головним засобом, використовуваним для покращення динамічних властивостей САУ.

 

Рисунок 11.10 – Деякі характеристики і інтерпретація 
диференціюючої ланки

 

Окрім розглянутих є ще ряд ланок, на яких детально зупинятися не будемо. До них можна віднести ідеальну форсуючу ланку

W(p)= Tp + 1, яка  практично не реалізовується;

реальну форсуючу ланку

при T1 >> T2),

ланка запізнення –  та деякі інші.

Тема 12. Аналіз стійкості лінійних систем.

 

12.1 Загальні умови стійкості.

 

Стійкість автоматичних систем – це їх властивість повертатись в початковий стан після того, коли будь-яка дія вивела систему з цього стану. Ознакою стійкості є збіжні перехідні процеси, наприклад для систем стабілізації

                                

де:  - відповідно задане та поточне значення регульованої координати.

Лінійна САУ може знаходитись в трьох станах: бути стійкою, нестійкою та на межі стійкості (рисунок 12.1). Варто відзначити, що коли лінійна САУ знаходиться в одному з двох останніх станів, вона непрацездатна. Важливо також відзначити, що форма перехідного процесу, а також його показники (амплітуда, тривалість) при оцінці стійкості значення не мають, головне – перехідні процеси повинні бути збіжними. Виходячи з цього, можна зробити висновок, що стійкість САУ є умовою необхідною, але недостатньою, але в задачах аналізу і синтезу САУ в першу чергу оцінюється стійкість системи. Наведена умова відповідає стійкості системи в усталеному стані. В реальних умовах на систему постійно діють збурення, тому умова стійкості може  відповідати вимозі: регульована координата повинна бути обмеженою при дії обмежених за велечиною збурень. В задачах аналізу та синтезу проблема стійкості ставить не лише визначення цієї оцінки, а також факторів, від яких залежить стійкість.

 

Рисунок 12.1 – Перехідні процеси системи:

а) – стійкої; б) – нестійкої; в) - на межі стійкості

 

Враховуючи, що стійкість лінійних САУ залежить від вільного руху системи, можна записати відповідне однорідне диференціальне рівняння:

Змушена складова руху системи, яка відповідає певному виду зовнішньої дії, на стійкість не впливає. Тоді математичним визначенням стійкості є:

Зрозуміло, що вихідна змінна системи буде наближатись до змушеної складової, яка визначається правою частиною диференціального рівняння, а при виконанні вказаної умови стійкість називається асимптотичною. Тоді для нестійкої системи

На межі стійкості в системі виникає перехідний процес з постійною амплітудою (рис. 12.1,в).

Вільна (перехідна) складова перехідного процесу, яка визначає стійкість системи, є розв’язком наведеного однорідного диференціального рівняння :

,

- постійні інтегрування, які залежать від початкових умов;

- корені характеристичного рівняння:

Таким чином  має суму складових, кількість яких визначається порядком системи n. В загальному випадку в рівнянні оператор p замінюється на комплексну змінну λ. Тоді корені рівняння рівняння є комплексними та утворюють пари спряжених комплексних чисел

Дійсна частина кореня  може бути додатною або від’ємною. Перехідна складова  прямує до нуля лише тоді, коли кожна складова . Тоді можна визначити залежність стійкості системи від коренів характеристичного полінома:

−    корені дійсні: . Якщо , то в системі виникає неколивальний (аперіодичний) перехідний процес, який при  прямує до нуля, тобто система стійка. При  перехідний процес розбіжний, тобто система нестійка (рисунок 4.2а);

−    корені комплексні попарно спряжені (рисунок 4.2б) викликають коливальний перехідний процес, причому при  – збіжний;

−    корені уявні (рисунок 4.2в) відповідають перехідному процесу у вигляді синусоїди (система на межі стійкості).

 

Рисунок 12.2 – Залежність  від коренів характеристичного полінома

 

Може бути також нульовий корінь, тоді значення Х приймає постійну величину.

Наведений матеріал дозволяє зробити такі висновки:

−    перехідний процес в системі – сума коливальних та аперіодичних складових, при цьому кожна коливальна складова відповідає парі комплексних спряжених коренів, а кожна аперідична складова – дійсному кореню;

−    загальною умовою загасання всіх складових і перехідного процесу в цілому є від’ємність дійсних частин всіх коренів характеристичного рівняння системи, тобто полюсів (нулів знаменника) передаточної функції системи;

−    якщо є хоча б один корінь з додатньою дійсною частиною, то йому відповідає розбіжна складова перехідного процесу, тобто система нестійка;

−    при наявності уявних коренів характеристичного рівняння в системі виникають назагасаючі коливання з частотою, яка дорівнює  – границя стійкості.

 

Рисунок 12.3 – Розташування коренів характеристичного рівняння на комплексній площині

 

Розташування коренів характеристичного полінома на комплексній площині показано на рисунку 12.3. Для стійкості системи всі корені повинні лежати в лівій напівплощині , а уявна вісь є межею стійкості. На межі стійкості може розташовуватись нульовий корінь або пара чисто уявних коренів. Необхідною, але недостатньою, умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного полінома.

Для отримання характеристичного полінома можна використивувати передаточні функції системи, наприклад для замкненої системи відносно зміни завдання:

Подамо  у вигляді:

 ,

тоді

,

де: D – характеристичний поліном, який співпадає з лівою частиною рівняння системи.

Розв’язуючи проблему стійкості, знаходять відповіді на ряд частинних питань:

−    визначають структуру системи, в якій забезпечується стійкість;

−    оцінюють межі змінювання параметрів системи, за яких вона зберігає стійкість та їх критичні значення, які виводять систему на межу стійкості (будують область стійкості);

−    формують ряд додаткових заходів щодо збереження чи забезпечення стійкості, наприклад введення додаткових елементів чи зв’язків.

Таким чином, стійкість системи визначають на основі аналізу перехідного процесу або коефіцієнтів та коренів характеристичного поліному. В теорії автоматичного керування є ще один ефективний метод оцінки стійкості – використання критеріїв стійкості – узагальнених показників, які не потребують розв’язувати рівняння системи. Використовуються алгебраїчні та частотні критерії.

 

12.2 Запас стійкості.

 

Реальні системи повинні бути не лише стійкими, а й забезпечувати запас стійкості, тобто зберігати стійкість при змінюваних умовах роботи та параметрів системи. Фактично це означає, що система за своїми властивостями повинна бути на певній відстані від межі стійкості. Запас стійкості встановлюється в зв’язку з тим, що:

−    розрахунок системи приводиться з використанням спрощених, ідеалізованих моделей, які не враховують ряд факторів, важливих для роботи системи;

−    проводиться лінеаризація математичних залежностей, а саме нелінійності відіграють суттєву роль при роботі системи;

−    параметри окремих елементів, особливо об’єкта, можуть значно змінюватись в процесі роботи, наприклад коефіцієнти теплопередачі.

Наведені фактори приводять до того, що стійка системи за розрахунками при практичному використанні може виявитись нестійкою.

Запас стійкості можна оцінювати за розташуванням коренів характеристичного рівняння на комплексній площині: чим далі вліво від уявної осі будуть розташовані корені, тим більшим буде запас стійкості. Для оцінки запасу стійкості можна використовувати і частотний критерій Найквіста, який буде розглянуто нижче, а саме – за віддаленням АФХ розімкненої системи  від “небезпечної” точки (–1; j0) на комплексній площині. Кількісно оцінюють запас стійкості системи за амплітудою (модулем) та фазою. Запас стійкості за амплітудою (модулем) показує, на скільки можна збільшити коефіцієнт передачі системи, щоб вона вийшла на межу стійкості. При розрахунках цей запас береться подвійним. Запас стійкості по фазі показує, на скільки повинно зрости запізнювання на частоті зрізу , щоб система вийшла на межу стійкості. При розрахунках приймається запас по фазі .

 

12.3 Область стійкості.

 

При створенні та експлуатації автоматичних систем часто необхідно визначати вплив змінюваних параметрів системи на стійкість. Область стійкості будується в координатах, якими є змінювані параметри і виділяє простір, в кожній точці якого система стійка. Лінія або поверхня, які обмежують область стійкості, є межею області. Коли змінюваних параметрів два, наприклад Kрег і Ti для ПІ-регулятора, тоді область стійкості виділяється на площиніKрег – Ti. Для позначення області стійкості лінія (межа стійкості) штрихується, при цьому штриховка направляється всередину області. Межа області може будуватись шляхом багатократного застосування одного з критеріїв стійкості при різних значеннях змінюваних параметрів.

Розглянемо приклад побудови області стійкості для статичної системи третього порядка, передаточна функція якої задана у вигляді:

,

що відповідає трьом послідовно з’єднаним аперіодичним ланкам з коефіцієнтами передачі Ki та постійними часу Ti. Характеристичний поліном системи приймає вигляд:

або:

,

де:

Позначимо:,

 – коефіцієнт передачі системи.

Для визначення області та межі стійкості можна застосувати алгебраїчний критерій Рауса-Гурвиця (буде розглянутий в наступній темі), тоді умовою стійкості буде:

Будемо вважати, що змінюваними параметрами є Т1 та К, тоді область стійкості будується в площині цих параметрів (рисунок 12.4).

 

Рисунок 12.4. Область стійкості системи

 

Нерівності, наведені вище не мають особливої цінності, тому що в реальних системах завжди розглядаються додатні значення Т1,Т2,Т3К за абсолютним значенням повинно бути менше одиниці, тобто система втратить стійкість при наявності додатного, а не від’ємного зворотного зв’язку. Коли К зростає, система також виходить на межу стійкості, а потім стає нестійкою, що видно з виразу для визначника :

З цього виразу можна отримати значення критичного коефіцієнта передачі системи:

Для стійкої системи К<Ккр . Межа (1) для області стійкості (рис.12.4) відповідає умові, наведеній вище, для різних значень змінюваного параметра Т1, при яких К=Ккр. Межа (2) відповідає умові

Межа (3) відповідає умові Т1=0.

Необхідно підкреслити ще раз, що збільшення коефіцієнта передачі системи підвищує її точність, але може привести до втрати стійкості. Цікавою особливістю є те, що критичне значення коефіцієнта передачі Ккр  не залежить від абсолютних значень постійних часу, а визначається лише їх відношенням

Тема 13. Алгебраїчні критерії стійкості.

 

13.1 Критерій Рауса-Гурвіця.

 

Алгебраїчні критерії встановлюють необхідні та достатні умови стійкості на основі визначників, складених з коефіцієнтів характеристичного рівняння системи. Англійський математик Є. Раус (1877 р.) та швейцарський математик А. Гурвіц (1893 р.) в різній формі запропонували критерій, згідно якого умови стійкості зводяться до виконання нерівностей, які зв’язують коефіцієнти рівняння системи. Для розв’язання прикладних задач ці критерії об’єднують в один – Рауса-Гурвіца. В загальному випадку ці критерії призначались для розв’язання чисто математичної задачі – дослідження стійкості розв’язків лінійного диференціального рівняння. Вище було показано, що за допомогою такого рівняння описується поведінка лінійної САУ.

На основі характеристичного полінома:

                     (13.1)

складається визначник:

                       (13.2)

 

Вираз (13.2) називається визначником Гурвиця і при його складанні виконуються правила:

−    визначник має n рядків та n стовпців, в першому рядку розташовуються “непарні” коефіцієнти, після чого рядок доповнюється до числа n нулями;

−    другий рядок включає всі “парні” коефіцієнти і також доповнюється  нулями до числа n;

−    третій та четвертий рядки отримують зсувом вправо відповідно першого та другого рядків на один елемент, а зліва проставляється нуль. Аналогічно отримують і наступні рядки;

−    в головній діагоналі визначника розташовуються всі коефіцієнти, крім .

Критерій стійкості Рауса-Гурвиця формулюється так: автоматична система, яка описуються характеристичним поліномом (13.1) стійка, якщо при  визначник  та всі його діагональні мінори додатні. (Мінор – визначник, складений з елементів, розташованих на перетині будь-яких k рядків та k стовпців визначника). У виразі (13.2) мінори виділені пунктиром.

Останній стовпець визначника  має лише один елемент , тому використовується відома залежність:

,

яка розподається на дві за умови . Коли , система знаходиться на межі стійкості. При цьому при  існує один нульовий корінь (аперіодична межа стійкості), а при  існує пара уявних коренів (коливальна межа стійкості).

Розглянемо використання алгебраїчного критерію для системи різних порядків. Для системи першого порядку характеристичний поліном має вигляд:

,

а умова стійкості:

.

Для системи другого порядку:

,

,

Таким чином, для системи першого і другого порядків необхідною і достатньою умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Для системи третього порядку:

,

Умови стійкості:

Остання нерівність за умови  потребує . Таким чином, для системи 3-го порядку забезпечення стійкості вимагає не лише додатності всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, а й певного співвідношення між ними.

Для системи 4-го порядку:

Умова стійкості:

Для систем високих порядків () використання алгебраїчного критерія Рауса-Гурвиця стає незручним і потребує громіздких виразів. Крім того, цей критерій не дає можливості визначити, які заходи необхідно здійснити для забезпечення стійкості.

        

13.2 Критерій Льєнара-Шіпара

 

В теорії автоматичного управління використовується також алгебраїчний критерій Льєнара-Шіпара (1914 р.), який спрощує використання критерія Рауса-Гурвиця. Доведено, що необхідною і достатньою умовою стійкості при є вимога додатності всіх визначників з парними індексами  або всіх визначників з непарними індексами .

Тема 14. Частотні критерії стійкості.

 

14.1 Критерій Найквіста.

 

Один з частотних критеріїв був запропонований в 1932 р. американським фізиком Х. Найквістом, який досліджував властивості електронних підсилювачів із зворотніми зв’язками. Цей критерій потім став одним з найбільш уживаних при дослідженнях стійкості автоматичних систем.

На відміну від інших критеріїв, заснованих на аналізі характеристичного рівняння системи, цей критерій використовує амплітудно-фазову характеристику розімкненої системи , тобто послідовне з’єднання (добуток) відповідних характеристик і передаточних функцій автоматичного регулятора і об’єкта по каналу керування. Саме це забезпечує наочність та зручність використання критерію, можна застосовувати експериментальні динамічні характеристики об’єкта. Цей критерій особливо зручний для одноконтурних систем, які можна представити у вигляді типових ланок.

Основне застосування критерію Найквіста відноситься до систем, які є стійкими в розімкненому стані, що виконується в більшості випадків для технологічних об’єктів. Для цього випадку критерій Найквіста формулюється так: автоматична система управління стійка, якщо амплітудно-фазова характеристика розімкненої системи  не охоплює точку з координатами (–1; j0) (рисунок 14.1).

Рисунок 14.1 – Амплітудно-фазові характеристики 
розімкненої системи (статичної)

 

Годограф (1) відповідає стійкій системі, (3) – нестійкій, (2) – на межі стійкості. Цей випадок справедливий для статичних систем. Для астатичних систем відповідні характеристики наведені на рисунок 14.2.

 

Рисунок 14.3 – Амплітудно-фазові характеристики 
розімкненої системи (астатичної)

 

При подальшому аналізі використовуються такі значення частоти:

−    частота зрізу, коли А(ω) (модуль  ;

−    частота, при якій фазовий зсув .

Тоді умова знаходження системи на межі стійкості буде:

Якщо проаналізувати проходження гармонійного сигнала через систему, то роль особливої точки (–1; j0) полягає в тому, що:

−    вона відповідає претворенню від’ємного зворотнього зв’язку в додатній;

−    вона є межею між режимами підсилення і ослаблення зовнішнього сигналу системою.

Може бути випадок, коли системи є нестійкою, в розімкненому стані. Тоді критерій Найквіста формулюється так: САУ буде стійкою, коли  охоплює  разів точку з координатами (–1; j0) , l – число правих коренів характеристичного рівняння розімкненої системи.

Критерій Найквіста зручно використовувати для аналізу систем, які мають в своїй структурі ланки запізнювання. В цьому випадку АФХ розімкненої системи можна подати у вигляді:

,

де:  - АФХ основних елементів системи;

 - АФХ ланки запізнювання.

Наявність ланки запізнювання погіршує, як правило, стійкість і існує критичне запізнювання, при якому система виходить на межу 
стійкості – .

 

14.3 Критерій Михайлова.

 

Частотний критерій стійкості А.В. Михайлова (1936 р.) заснований на аналізі характеристичного полінома системи, в який підставляється :

           (14.1)

Вираз (14.1) можна подати у вигляді суми дійсної та уявної частини:

,

де:  – дійсна частина, складена з членів з парними 
степенями ;

 – уявна частина, яка утримує члени з непарними степенями .

Кожному фіксованому значенню  відповідає комплексне число, яке можна зобразити вектором на комплексній площині. При змінюванні  від 0 до  цей вектор описує криву, яка називається годограф Михайлова. За видом годографа можна оцінювати стійкість системи. При  функція , що випливає з виразу (14.1), а при  функція  необмежено зростає, але проходить різну кількість квадрантів в залежності від порядку системи.

Критерій стійкості Михайлова формулюється так: автоматична система керування, якій відповідає рівняння (14.1), стійка, якщо при змінюванні  від 0 до  годограф  огинає проти годинникової стрілки початок координат та проходить n квадрантів (n – порядок системи). Якщо система знаходиться на межі стійкості, то годограф проходить через початок координат (це відповідає наявності пари спряжених коренів).

 

Рисунок 14.4 – Годограф Михайлова

 

На рисунку 14.4 годограф (1) відповідає стійкій системі (n=4), (2) – на межі стійкості, (3) – нестійкій. При практичному використанні годографа Михайлова спочатку знаходять точки перетину його з координатними осями: при  знаходять частоту, коли  пересікається з уявною віссю і підставляють її значення у вираз для . Коли знайдено умови, за яких  перетинає осі координат, тобто знайдено нулі  і , то повністю годограф будувати не потрібно: стійкість має місце, якщо нулі  та  чергуються з ростом , починаючи з , тобто , а .

Якщо систему можна розбити на ланки, то годограф  можна отримати за правилами перемноження векторів.

 

14.2 Логарифмічні частотні характеристики.

 

Для оцінки стійкості системи можна використовувати також логарифмічні частотні характеристики. Це засновано на висновках, які випливають з критерію стійкості Найквіста: система буде стійкою тоді, коли при досягненні фазовою частотною характеристикою значення –180о логарифмічна частотна характеристика буде від’ємною (криві (1), 
рисунок 14.5). Це значить, що АФХ розімкненої системи не охоплює точку (–1; j0). Кривим (3) рисунку 14.5 відповідає нестійка система, (2) – на межі стійкості.

 

Рисунок 14.5 – Логарифмічні частотні характеристики статичної системи

Тема 15. Якість перехідних процесів в лінійних автоматичних системах регулювання.

 

15.1 Поняття та показники якості перехідних процесів.

 

Якість автоматичних систем регулювання в цілому визначається комплексом показників: надійністю, вартістю, відповідністю світовому науково-технічному рівню, точністю. В теорії та практиці автоматизації поняття “якість системи”, “якість керування” зводиться в першу чергу до якості перехідних процесів відносно збурення та зміни завдання та забезпечення необхідної точності в усталеному режимі. В попередньому розділі відзначалось, що стійкість системи необхідна, але недостатня умова її працездатності, тому після перевірки та забезпечення стійкості системи розглядаються можливості гарантування якості процесів керування. При цьому якість перехідних процесів необхідно розглядати відносно збурень та зміни завдання. Якість перехідних процесів визначається властивостями як об’єкта, так і автоматичного регулятора, а показники або оцінки якості формуються, виходячи з технологічних вимог до функціонування об’єкта.

Для порівняння якості різних САУ досліджується їх реакція на типові дії. Звичайно це ступінчаста функція, як один з найбільш несприятливих видів збурень. Для систем, що працюють з періодичними збуреннями, доцільно оцінювати якість управління при гармонійній дії. Усі інші збурення можна розкласти на ступінчасті дії з використанням інтеграла Дюамеля, або в ряд Фур'є.

Усі сучасні методи аналізу якості управління можна розділити на прямі методи аналізу по кривій перехідного процесу або за частотними характеристиками, і непрямі методи, що дозволяють, не вирішуючи диференціального рівняння, визначити деякі показники якості процесу управління; до них, зокрема, відносяться кореневі, інтегральні і частотні методи.

 

15.2 Показники якості при ступінчатому впливі.

 

Нехай на САУ при t=0 впливає збурюючий чинник f у вигляді одиничної ступінчастої функції. За нульових початкових умов 
динамічний режим описується перехідною характеристикою 
h(t) = Dy(t) = y(t) – y0 = –e(t)(рис.85). По ній можна визначити усі найбільш важливі показники якості управління.

1. Статична помилка eуст = y0 – yуст = – hуст – це різниця між наказаним і дійсним значенням керованої величини в сталому режимі. Для статичних систем статична помилка відмінна від нуля (рисунок 15.1а) і пропорційна величині збурюючого чинника f (у лінійних САУ) та коефіцієнту передачі системи по цьому збуренню, а для астатичних ­ дорівнює нулю (рисунок 15.1б).

 

Рисунок 15.1 – Показники якості при ступінчатому впливі

 

2. Час перехідного процесу tпп – це час від моменту дії, починаючи з якого коливання керованої величини не перевищують деякого наперед заданого значення, тобто |h(t) - hуст| ≤D. Зазвичай приймають D= 0.05hуст.

3. Перерегулювання σ – це максимальне відхилення керованої величини від сталого значення, виражене у відносних одиницях: σ=. Тут hmax1 – значення першого максимуму перехідної характеристики. При великих перерегулюваннях можуть виникнути значні динамічні зусилля в механічній частині системи, електричні перенапруження і тому подібне. Допустиме значення σ визначається з досвіду експлуатації. зазвичай воно складає 0.1..0.3, іноді допускається до 0.7.

4. Частота коливань , де T – період коливань.

5. Число коливань n за час tпп.

6. Декремент затухання k, рівний відношенню двох суміжних перерегулювань:

.

 

Рисунок 15.2 – Діаграма показників якості

 

При створенні САУ допустимі значення показників якості обмовляються технічними умовами, що можна представити у вигляді діаграми показників якості. Це область, за межі якої не повинна виходити перехідна характеристика (рисунок 15.2).

 

15.3 Показники якості при періодичних збуреннях.

 

Періодичні обурення можна розкласти в ряд Фур'є, тому їх дію зручно аналізувати за частотними характеристиками, що показують, як ланка перетворить гармонійний сигнал.

Зазвичай використовують АЧХ замкнутої САУ (рисунок 15.3), яку легко побудувати по АФЧХ розімкненої САУ , по формулі

По цій кривій можна отримати ряд показників якості.

 

Рисунок 15.3 – АЧХ замкнутої САУ

 

1. Показник коливальності M – це відношення максимального значення АЧХ замкнутої САУ до її значення при ω=0, тобто 
M = Aзmax(ω)/Aз(0). Оскільки 

,

при Kp>>1, то MAзmax(ω). Він характеризує схильність системи до коливань і не повинен перевищувати 1.5.

2. Резонансна частота системи ωp – це частота, при якій коливання проходять через систему з найбільшим підсиленням, а АЧХ досягає максимуму.

3. Смуга пропускання системи – це інтервал частот від ω= 0 до ω=ω0, на якому виконується умова . Якщо вона висока, то система відтворюватиме високочастотні перешкоди.

4. Частота зрізу ωср – частота при якій АЧХ замкнутої САУ набуває значення, рівного одиниці. По ній можна судити про тривалість перехідного процесу .

5. Схильність САУ до коливань характеризують також її запаси стійкості по модулю (допускається від 6 до 20дБ) і по фазі (допускається від 30 до 60 градусів).

Тема 16. Методи та критерії визначення якості перехідних процесів в системах управління.

 

16.1 Методи визначення якості перехідних процесів.

 

Якість перехідних процесів САУ можна визначити за частотними, кореневими або інтегральними критеріями.

Найбільшу наочність мають частотні критерії якості, які використовують властивості частотних характеристик замкненої та розімкненої системи. Так, за видом амплітудно-частотної характеристики замкненої системи за зміною завдання (рисунок 16.1) можна визначити частотний показник коливальності:

 

Рисунок 16.1 – Амплітудно-частотна характеристика замкненої системи

 

Чим більше це відношення, тим сильніша коливальність і, як наслідок, тривалість перехідного процеса . Якість вважається задовільною при . Непрямими частотними показниками швидкодії системи є характерні частоти: резонансна , незагасаючих коливань (часто можна прийняти ) та частота пропускання .

За амплітудно-фазовою характеристикою розімкненої системи  (рисунок 16.2) можна визначити запас за амплітудою:

та за фазою:

Рисунок 16.2 – Показники запасу стійкості

 

Ці показники фактично характеризують віддаленість кривої  від критичної точки на комплексній площині з координатами (–1; j0). Раніше відзначалось, що при проектуванні систем приймається запас стійкості за амплітудою   і за фазою . Такі показники запасу стійкості забезпечують і необхідну якість перехідних процесів.

Між частотними та часовими характеристиками системи існує однозначний зв’язок. Так визначено, що перехідна функція замкненої системи може визначатись за дійсною  або уявною  частотними характеристиками замкненої системи:

де:  – перехідна функція замкненої системи, тобто часова характеристика при одиничному ступінчатому впливі.

Для оцінки якості перехідних процесів можна використовувати дійсну частотну характеристику замкненої системи, наприклад за зміною завдання (рис.5.6). Інтервал частот  – називається інтервалом позитивних частот,  – суттєвих. Після   мало впливає на якість перехідного процесу. Якщо для частоти  виявиться, що , то в першому наближенні можна приймати до уваги лише інтервал позитивності . Значення U(0) при частотах  та  впливає лише на початок перехідного процесу і їх можна відкинути, а початок U(ω) визначає головним чином кінцеву частину перехідного процесу.

 

Рисунок 16.3 – Дійсна частотна характеристика замкненої системи

 

Аналіз наведених інтегралів та графіку U(ω) (рисунок 16.3) дає можливість зробити такі оцінки щодо якості перехідного процесу:

−    статична похибка  після нанесення одиничного стрибка дорівнює U(0). Якщо це зміна завдання, то U(0)=1 або деякому коефіцієнту К0 (з урахуванням відтворення зміни завдання). При оцінці характеристик відносно збурення U(0)→min, а в астатичній системі U(0)=0;

−    порівняння графіків (рисунки 16.4а та 16.4б) показує відповідність  та . При наявності екстремума  перехідний процес коливальний, при відсутності – аперіодичний;

−    перехідний процес тим швидше загасає, чим більше значення  (при цьому менша інерційність);

−    для мінімально-фазових систем замість  можна використовувати .

 

Рисунок 16.4 – Дійсна частотна (а) та перехідна (б) характеристики замкненої системи

 

16.2 Кореневі критерії якості перехідних процесів.

 

Кореневі критерії якості дають можливість оцінити або задати показники перехідного процесу за розташуванням коренів характеристичного полінома на комплексній площині. При цьому необхідно аналізувати не лише полюси (як при аналізі стійкості), а й нулі передаточної функції системи. Наприклад, передатна функція замкненої системи відносно збурення має вид:

,

де:

Розклавши багаточлени M(p) i D(p) на множники, передатну функцію можна виразити так:

де:  - відповідно полюси та нулі передаточної функції. При цьому значення нулів залежить від місця, де прикладене діяння.

Розглянемо частинний випадок, коли передаточна функція не має нулів:

Для цього випадку перехідний процес, який визначається лише полюсами , має вид:

Як відомо в цьому перехідному процесі є аперіодична та коливальні складові (відповідно визначаються дійсними та попарно спряженими комплексними коренями). Тоді можна знайти тривалість найбільш тривалої та коливальність найбільш коливальної складових, що і визначить ці оцінки всього перехідного процесу (їх верхні границі).

Рисунок 16.5 – Ступінь стійкості системи

 

Критерій тривалості – ступінь стійкості  (рисунок 16.5) показує відстань від уявної осі (яка є межею стійкості) до найбільшого кореня характеристичного рівняння замкненої системи. Час затухання окремої складової перехідного процесу визначається величиною , або , де  - постійна часу загасання,  ­ дійсна частина і-го кореня характеристичного рівняння. Тривалість певної складової , тобто вона обернено пропорційна абсолютному значенню дійсної частини відповідного кореня. Таким чином, самою тривалою складовою є така, яка визначається коренем з мінімальною величиною дійсної частини:                           

Тоді тривалість перехідного процесу буде:

Назва показника “ступінь стійкості” пов’язана з тим, що  показує фактично відстань від межі стійкості.

Критерій коливальності – ступінь коливальності. Коливальність коливальної складової перехідного процесу

визначається відношенням амплітуд перехідного процесу:

де:  – період коливань даної складової. Тоді коливальність дорівнює , а при  буде . Таким чином, мірою коливальності є відношення : чим більше це відношення, тим більше коливальність складової перехідного процесу, а найбільш коливальною є складова, для якої це відношення буде максимальним:

На комплексній площині корінь, який визначає найбільшу коливальність, відповідає куту  (рисунок 16.7).

 

Рисунок 16.7 – Ступінь коливальності системи

 

В практичних розрахунках використовують показник , який приймають в межах . Варто зауважити, що в системі довільного порядку найбільш швидкий аперіодичний перехідний процес має місце, коли всі n коренів рівні. На комплексній площині корінь, який визначає найбільш коливальну складову, відповідає найбільшому значенню кута  (рис.5.9).

Для визначення критеріїв якості  та  можна використовувати критерії стійкості Рауса-Гурвиця або Михайлова. В задачах синтезу систем обирають один - два параметри, які можуть змінюватись в певних межах, і визначають їх вплив на степінь стійкості  побудовою області стійкості в площині, наприклад  і одного з параметрів системи. Можна отримати також лінії однакового ступіню  стійкості з різними значеннями .

При використанні критеріїв  і  необхідно враховувати, що оцінки тривалості та коливальності перехідних процесів є граничними, тобто перехідний процес в системі може мати кращу якість. Якщо розглядати загальний випадок, коли передаточна функція системи має нулі, то це відповідає наявності правої частини рівняння, тому оцінка якості може бути неточною, але завжди якість перехідних процесів тим краще, чим більше  і менше .

В технічній літературі наводиться приклад оптимального розташування коренів характеристичного полінома та значення відповідних коефіцієнтів. Для реальних систем значна частина коефіцієнтів характеристичного рівняння фіксована, тому свобода вибору щодо розташування коренів обмежена. В цьому випадку обирають два - три корені, які визначають якість перехідних процесів, а решту розташовують в глибині комплексної напівплощини шляхом обмежень на дійсні частини. При цьому відношення уявної та дійсної частини цих коренів не регламентується, оскільки швидкість загасання буде значною та виявлятись лише на початку перехідного процесу.

Визначення показників  та  за рівнянням з відомими коефіцієнтами – трудомістка задача, тому частіше розв’язується обернена задача – визначення коефіцієнтів рівнянь та параметрів системи, при яких всі корені лежать в області із заданими значеннями  і . Для систем невисоких порядків розроблено метод кореневого годографа, коли на комплексній площині будуються траекторії (годографи) переміщення коренів характеристичного рівняння при зміні параметрів системи, що приводить до бажаного розташування цих коренів.

Вплив розташування коренів на якість перехідного процесу та стійкість добре ілюструє діаграма І.О.Вишнеградського (1876 р.), побудована для систем третього порядку (рисунок 16.8).

 

Рисунок 16.8 – діаграма І.О.Вишнеградського

 

Характеристичне рівняння системи:

приводиться до нормованого вигляду шляхом ділення на а0 і введення нової змінної :

де: .

Приймаючи А1>0, A2>0 в площині параметрів А1-A2 будується область стійкості, яка розділяється на три складові:

І – обмежена лініями abc, відповідає трьом дійсним кореням (різним), що приводить до аперіодичних процесів;

ІІ – обмежена лініями abd, відповідає парі комплексним коренів та одному дійсному, розташованому ближче до уявної осі – монотонний перехідний процес;

ІІІ – обмежена лінією dbc та межею стійкості, відповідає також парі комплексних коренів та одному дійсному, але до уявної осі ближче знаходяться комплексні корені – коливальний перехідний процес.

 

16.3 Інтегральні критерії якості перехідних процесів.

 

Одними з найбільш зручних для оцінки якості перехідних процесів є інтегральні критерії якості, особливо при використанні комп’ютерного моделювання. Це узагальнені показники, які фактично дають оцінку величини площі під кривою перехідного процесу, і тоді однозначно формулюється вимога зменшення відхилення та тривалості перехідного процесу. Використовуються такі інтегральні критерії:

−    лінійний

;

−    квадратичний

;

−    покращений квадратичний

Лінійний інтегральний критерій  є найбільш простим, його зручно використовувати для оцінки якості аперіодичних перехідних процесів, а для коливальних необхідно визначати площі різного знаку під кривими і складати їх за абсолютним значенням. Оцінка  може привести до перехідного процесу з малим відхиленням, але з недостатнім затуханням.

Найбільш зручним є квадратичний інтегральний критерій . При його використанні найбільшу вагу мають перші амплітуди, що також може привести до перехідних процесів з недостатнім затуханням. Цей критерій безпосередньо зв’язаний з характеристиками системи, його значення можна знайти за формулою Релея:

де:  - АФХ замкненої системи за каналом збурення;

 - Фур’є-перетворення збурення.

Урахування в критерії  швидкості відхилення змінної розширює діапазон його застосування, а ваговий коефіцієнт Тв безпосередньо пов’язаний з часом перехідного процесу: , де  - бажана тривалість перехідного процесу. Квадратичний інтегральний критерій можна обчислити за коефіцієнтами передаточної функції системи без побудови перехідного процесу.

Різні інтегральні критерії зв’язані між собою та з прямими показниками якості перехідних процесів. Так зменшення  приводить до зменшення ,, а також до збільшення  (зменшення запасу стійкості системи). В проектних розрахунках зв’язують безпосередньо значення  з  при обмеженні на А1.

Критерії якості перехідних процесів залежать від сукупності характеристик системи, тому в процесі розробки САУ відбирають найбільш суттєві фактори, наприклад відомий сильний вплив відношення  ( - час запізнювання, Т - постійна часу об’єкта) на значення критерія  та динамічну похибку А1. Суттєво змінюється значення критеріїв та показників якості при змінюванні коефіцієнта регулятора Крег та коефіцієнтів передачі об’єкта за каналами керування Кок та збурення Кзб.

Тема 17. Синтез лінійних систем управління.

 

17.1 Основні поняття та постановка задачі.

 

Задачі синтезу є оберненими до задач аналізу : в них необхідно визначити структуру та параметри системи за поставленими показниками якості. Виходячи з цього, розрізняють параметричний та структурний синтез САУ. Прикладом простої задачі параметричного синтезу є визначення коефіцієнта передачі розімкненої системи за відомою похибкою або за умовою мінімуму інтегральної ланки.

Таким чином, синтезом автоматичної системи називають процедури визначення структури та параметрів системи за необхідними (заданими) показниками якості. Процедури синтезу є формалізованими, що забезпечує єдиність результату на відміну від неформалізованих прийомів вибору системи на основі досвіду та інших факторів, якими користується розробник системи. В загальному випадку необхідно визначити алгоритмічну та функціональну структуру системи.

Алгоритмічну структуру системи (або її частину) знаходять за допомогою математичних методів на основі вимог, які записані в чіткій математичній формі. В цьому розумінні створення алгоритмічної структури називають теоретичним синтезом або аналітичним конструюванням системи керування. Добре відома задача аналітичного конструювання оптимальних регуляторів.

Синтез функціональної або технічної структури передбачає формування комплексу виконуваних функцій та технічних засобів для їх реалізації, узгодження характеристик різних елементів та зв’язків між ними. Крім того, виконувані функції повинні певним чином розподілятись між пунктами управління. В загальному випадку синтез функціональної та технічної структур не може бути повністю формалізованим, а розв’язання технічних проблем виходить за рамки теорії автоматичного керування.

 

17.2 Етапи синтезу систем управління.

 

В цілому можна виділити такі етапи синтезу систем керування :

−    формування сукупності функціонально необхідних елементів (датчики, автоматичні регулятори, перетворювачі, виконавчі механізми, регулюючі органи). Ці елементи складають незмінну частину системи;

−    вибір додаткових елементів для забезпечення необхідної якості системи : компенсаторів, пристроїв корекції, введення додаткових сигналів, наприклад за похідними від змінних;

−    визначення оптимальної структури на основі компромісу між точністю і якістю та простотою і надійністю;

−    параметрична оптимізація, тобто визначення значень настройок регулятора і інших елементів, які забезпечують найкращим чином вимоги до системи.

 

17.3 Принципи синтезу алгоритмічної структури систем управління

 

Для виконання процедур синтезу системи керування повинні бути відомими передатні функції об’єкта за каналами зміни керування Wок(p) та збурення Wозб(р), кількісні оцінки збурень, а також перешкоди в каналах завдання та вимірювання. Найкращою (ідеальною) буде система, яка найбільш точно відтворює на виході корисні сигнали (завдання) і максимально зменшує або компенсує дію збурення.

Розглянемо приклади визначення ідеальної структури системи керування.

Розімкнена система.

 

Рисунок 17.1 – Алгоритмічні структури ідеальних розімкнених систем.

 

Коли на об’єкт не діє збурення (рисунок 17.1а), то передатну функцію регулятора можна отримати у вигляді :

В цьому випадку забезпечуєтся повна (структурна) компенсація інерційності об’єкта, і система буде миттєво відтворювати на виході об’єкта сигнал Х=Хoptзад, який формується спеціальним фільтром з передаточною функцією Wopt(p). Цей фільтр повністю пропускає корисний сигнал завдання Хзд та зменшує вплив перешкоди Xn. Якщо на виході об’єкта діє збурення Z, яке можна вимірювати, то його компенсацію забезпечують введенням додаткового сигналу. В цьому випадку також для регулятора обирають передатну функцію , тоді Wрег(p)*Wок(p) = 1, тобто корисна складова вихідного сигналу Х буде компенсувати Z. Якщо збурення Z не можна вимірювати, то система створюється по замкненій схемі з використанням сигналу зворотного зв’язку.

В ідеальній замкненій системі використовується метод непрямого вимірювання збурення Z за допомогою моделі об’єкта (рисунок 17.2).       

 

Рисунок 17.2 – Алгоритмічна структура ідеальної замкненої системи.

Передатна функція моделі Wм(p) і об’єкта Wок(p) повинні бути однаковими :

Wм(p) = Wок(p),

тоді сигнал  дорівнює :

де : Хu , Х – сигнал об’єкта та моделі, викликані сигналом регулятора U, а Xz – складова, яка визначається збуренням Z. На розрахунковому режимі Хu = Х. Таким чином, дія збурення Z оцінюється складовою сигналу Xz , яка вводиться в автоматичний регулятор.

Коли на систему діють збурення Z і перешкода Xn, то в структуру системи необхідно також ввести фільтр для формування оптимального значення Хoptзд.

В ідеальній системі використовується передаточна функція , що створює принципову основу для структурного і параметричного синтезу системи керування, це – метод компенсації інерційності об’єкта. В практичних задачах реалізувати обернену передаточну функцію об’єкта точно неможливо, тому застосовується частинна 

 

компенсація інерційності об’єкта. Наприклад, послідовно з інерційним об’єктом, передаточна функція якого :

(Т12>Т...Тn – постійні часу), включають форсуючу ланку першого – другого порядків з передаточною функцією :

причому :

Не дивлячись на те, що точно реалізувати передаточні функції   та Wk(p) неможливо, основний принцип структурно-параметричної оптимізації систем керування полягає в тому, що автоматичний регулятор (пристрій управління) повинен включати передаточну функцію  або близьку до неї. Передаточна функція регулятора буде :

 

Приймаючи, що Wм(p) = Wок(p), отримаємо :

Ланка з передаточною функцією Wопт(p) здійснює оптимальну фільтрацію зовнішніх сигналів та формуєХoptзд..

Тема 18. Методи синтезу систем управління.

 

18.1 Введеня корегуючих пристроїв.

 

При синтезі САУ вважається, що основна частина системи вже задана, що зазвичай має місце. Вимагається синтезувати ланки, що коригують, тобто вибрати їх схему і параметри. При цьому необхідно, щоб в результаті корекції САУ забезпечувався необхідний запас стійкості; точність управління в сталих режимах і якість управління в динамічних режимах.

Корегуючий пристрій можна включити послідовно, паралельно-узгоджено або паралельно-зустрічно (за схемою із зворотним зв'язком).

Корегуючі пристрої синтезують на підставі вимог до властивостей САУ. Для цього необхідно знати передатну функцію реальної САУ Wреал, яка чим те не задовольняє розробника, і бажану передавальну функцію Wбаж, яку повинна мати САУ в результаті коригування її властивостей.

При синтезі пристроїв, що коригують, спочатку визначаю передавальну функцію можливого послідовного пристрою, що коригує, виходячи із співвідношення: Wп Wбаж /Wреал. Потім з'ясовують, при яких передавальних функціях паралельно-узгодженого Wпу і паралельно-зустрічного Wпз пристроїв, що коригують, буде отриманий той же ефект. Після цього вирішують, яке з них доцільніше і простіше створити. При цьому виходячи з рис.103 можна записати:

Wбаж = WWп  = W1W2.(W3 + Wпу ) = W(1 + Wпу/W3) = W/(1 + W2Wпз),

де W = W1W2W3. З цього співвідношення можна визначити формули переходу від одного пристрою, що коригує, до іншого.

 

18.2 Часові методи синтезу систем управління .

 

В основі часових методів синтезу лежить можливість отримання перехідних процесів, які відповідають заданим показникам якості при використанні різних законів керування.Ці методи називають також прямими. Необхідно відзначити, що отримати результати синтезу прямим методом можливо лише для ідеальних систем, без урахування нелінійностей, фізичних явищ при передачі та перетвореннях сигналів і т.д., тому ці методи мають, в першу чергу, методологічне значення, що дає можливість отримати загальні положення та залежності.

Рисунок 18.1 – Структура одноконтурної САУ.

 

Приклад 1. Система складається з пропорційного регулятора та об’єкта 1-го порядку із самовирівнюванням. Аналіз системи виконується в такому порядку :

−    записуються необхідні передаточні функції : 

 регулятора – Wрег(p) = Kрег

об’єкта – за каналом керування – 

за каналом збурення – 

−    визначаються передаточні функції замкненої системи :

=відносно зміни завдання – Wзд(p)

де : Ксист – коефіцієнт передачі системи – 

Тсист. – постійна часу системи – 

 = відносно збурення – Wзб(p)

де : 

−    отримують перехідні процеси, наприклад за допомогою оберненого перетворення Лапласа при стрибкоподібному вхідному сигналі: 

Перехідний процес відносно зміни завдання показано на рис.18.2.

 

Рисунок 18.2 – Перехідні процеси відносно зміни завдання 
(Крег 1>Крег 2>Крег 3).

 

Система з точки зору динаміки еквівалентна аперіодичній ланці з передаточною функцією (6.12). Перехідний процес описується рівнянням :

Характеристичне рівняння системи Тсист р+1=0 має один дійсний корінь , що відповідає аперіодичному процесу. При зміні Крег змінюються лише числові значення кореня, а перехідний процес залишається аперіодичним. Збільшення Крег  змінює загальний коефіцієнт передачі системи та її постійну часу. Зменшення Тсист скорочує час регулювання та зменшує статичну похибку (рис. 18.2),тобто застосування П-регулятора покращує властивості системи, але статична похибка залишається. Такий же характер мають перехідні процеси відносно збурення (рисунок 18.3).

 

Рисунок 18.3 – Перехідні процеси відносно збурення (Крег 2>Крег 1).

 

В реальних системах необхідно враховувати динамічні властивості датчиків  виконавчих механізмів регулюючих органів, що може привести до коливальних процесів і навіть до втрати стійкості при Крег 1→∞ .

Задача параметричного синтезу в цьому випадку полягає у визначенні такого Крег, при якому ∆ХстХст доп за умови виконання інших обмежень, наприклад щодо стійкості.

Приклад 2. САУ складається з П-регулятора та об’єкта без самовирівнювання. Приймемо, що передаточні функції об’єкта за каналами керування та збурення будуть відповідно :

 

)

Після виконання дій, які визначені в попередньому прикладі, отримаємо такі результати :

−    передатна функція замкненої системи відносно зміни завдання , але Ксист.=1, а : перехідний процес не має статичної похибки;

−    в передатній функції відносно збурення значення параметрів такі :

Приклад 3. САУ включає І-регулятор з передаточною функцією та об’єкт без самовирівнювання з передатною функцією . Передатна функція замкненої системи відносно збурення буде :

 

Даному виразу відповідає перехідний процес :

 

Таким чином, перехідний процес – це синусоїда з амплітудою і частотою , тобто ідеалізована система знаходиться на межі стійкості. Реальна система з урахуванням характеристик додаткових елементів та нелінійностей буде нестійкою. Це підтверджує висновок про те, що І-регулятор не може працювати на об’єкті без самовирівнювання, тому що в цьому випадку система є структурно нестійкою.

Для прикладів з ПІ- та ПІД- регуляторами часовий аналіз приводить до громіздких виразів, не зручних для роботи. Такі системи зручно досліджувати за допомогою комп’ютерного моделювання, застосовуючи програмні засоби SIAM та MATLAB.

 

18.3 Частотні методи синтезу систем управління.

 

Для виконання задач аналізу та синтезу САУ використовуються різні частотні характеристики.

Частотні характеристики розімкненої системи отримуються на основі виразу :

,

Підставляючи в даний вираз передатні функції регулятора і об’єкта при p=jω, отримують частотну характеристику розімкненої системи.

Однією із задач дослідження САУ є визначення умов її знаходження на межі стійкості, що відповідає критичним значенням настройок регулятора. Користуючись частотними характеристиках, можна отримати також параметри системи, які забезпечують заданий запас стійкості за модулями і фазою (рисунок 18.4). 

 

Рисунок 18.4 – Визначення запасу стійкості САУ.

 

Якщо на фазовій площині нанести коло радіусом r=1, то можна визначити :

−    запас стійкості по модулю С, який показує, на скільки повинен змінитись модуль Wроз(), щоб система вийшла на межу стійкості;

−    запас стійкості по фазі – кут g, який показує, на скільки повинен змінитись зсув по фазі в розімкненій системі при існуючому модулі Wроз(), щоб система вийшла на межу стійкості. Запас стійкості безпосередньо зв’язаний з величиною максимуму АЧХ замкненої системи відносно зміни завдання :

В залежності від розташування Wроз() на комплексній площині змінюється вид АЧХ. При ω=0 Wроз()→∞, ОА=ВА, Азд(0)=1. При збільшенні частоти т.А переміщується угору, тоді можливі такі випадки:

−    якщо Wроз() знаходиться достатньо далеко від точки В(–1; j0), то відрізок ВА буде завжди більшим відрізка ОА. При ω→∞ ВА=1, ОА→0, Азд(ω)→0;

−    якщо Wроз() проходить достатньо близько від т. В(–1; j0), то відрізок ВА при низьких частотах <ОА, тому в діапазоні частот [ω=0, wрезАзд(ω) зростає до максимуму. При ω→∞ ОА→0, ВА=1, Азд(ω)→0 (рис.6.16,крива 2).Чим ближче Wроз() до точки В(–1; j0), тим більший максимум Азд(ω);

−    якщо Wроз() проходить через точку В(–1; j0), то max Азд(ω)→∞, ВА→0.

Таким чином, чим більший max Азд(ω), тим ближче годограф Wроз() до точки  В(–1; j0), тим менший запас стійкості. Для забезпечення необхідного запасу стійкості Wзд() повинна розташовуватись на певній відстані від точки В(–1; j0), тобто не повинно перевищуватись деяке значення відношення :

де : М – показник коливальності

Рисунок 18.5 – До визначення запасу стійкості.

 

Таким чином, для того, щоб max Азд(ω) не перевищував деякої заданої наперед величини, Wроз() не повинна заходити в область, обмежену колом радіусом r (рисунок 18.5) :

центр якого розташований на відстані :

 

18.4 Визначення оптимальних параметрів системи

 

Однією з центральних задач прикладної теорії автоматичного керування є визначення оптимальних параметрів, зокрема значень настройок регуляторів. Для цього використовуються різні методи : аналітичні, графо-аналітичні та за наближеними залежностями.

При однаковій коливальності перехідні процеси в САУ можуть мати різну тривалість, статичну та динамічну похибку та інше. В умовах непередбачуваних збурень необхідно забезпечити задану якість перехідних процесів. Оптимальними настройками регуляторів будуть такі, які забезпечують досягнення найкращих результатів в конкретній ситуації при існуючих ресурсах та обмеженнях у відповідності до обраного критерія. Можна записати таку залежність :

А*=argextr I,

UÎΩu

де: А* - вектор оптимальних значень параметрів настройок регулятора (Крег, Ті, Тд); І – критерій оптимальності; U – сигнал керування. В задачах знаходження оптимальних значень параметрів настройок регуляторів використовуються також математичні моделі об’єкта та формуються обмеження на координати стану Х, вихідні змінні У та збурення Z, що було розглянуто вище.

Загальний критерій оптимальності для САУ формується так: система повинна найкраще (найбільш точно) відпрацьовувати корисні сигнали, в першу чергу вектор сигналу завдання Хзд та компенсувати або принаймні зменшувати дію збурення Z. При цьому необхідно враховувати, що зовнішні сигнали мають різні частотні спектри, а складові гармоніки при проходженні через систему змінюються за амплітудою та фазою.

Абсолютна фільтрація (компенсація) збурень забезпечується, коли АЧХ системи відносно збурення дорівнює нулю у діапазоні частот від ω=0 до ω→∞, тобто :

Вимога точного відтворення Хзд потребує, щоб :

В реальних системах наведені залежності не можуть виконуватись точно, тому оптимальними параметрами настройок вважаються такі, які забезпечують максимальне наближення АЧХ реальної системи до характеристик ідеальної. Крім того, оптимізацію настройок неможливо забезпечити у всьому діапазоні частот, а для інерційних технологічних об’єктів найбільш “небезпечними” є низькі частоти.

Одним з методів отримання значень оптимальних настройок регуляторів є введення поняття фільтра для збурення Z (рис.6.19) та перенесення його на вхід системи.

Для розрахунку оптимальних настройок автоматичних регуляторів використовуються також розширені частотні характеристики (РЧХ). На відміну від звичайних при отриманні РЧХ вхідний сигнал має вигляд:

або в показниковій формі :

де: m – постійний параметр.

Як видно з останніх виразів амплітуда коливань Umaxe-mωt зменшується  і викликані цим сигналом змушені коливання будуть мати такі ж значення частот і степені затухання, але відрізнятись за амплітудою і фазою :

Тоді розширена частотна характеристика буде мати вигляд :

Для визначення РЧХ в передаточну функцію необхідно підставити  р=(j-m)ω. При m=0 це відповідає звичайним (нормальним) частотним характеристикам

Методика розрахунку настройок регулятора по аналогії з критерієм стійкості Найквіста базується на твердженні : якщо розімкнена система має ступінь коливальності не нижче заданого, то замкнена система буде мати такі ж показники тоді, коли РЧХ розімкненої системи пройде через точку з координатами  (–1; j0).

Розрахунок виконують в такій послідовності :

−     визначають параметри регулятора, при яких система має запас стійкості не нижче заданого;

−    з попередньої умови обирають такі настройки, які забезпечують мінімум обраного критерія (лінійного або квадратичного).

Процес пошуку точки оптимальних настройок можна алгоритмізувати.

 

Рисунок 18.7 – Ілюстрація алгоритму покрокової оптимізації, а – криві рівного ступеню затухання, б – перехідні процеси

 

Алгоритм покрокової оптимізації включає такі етапи :

−    з початкових точок 1 або 2 (рисунок 18.7) здійснюється вихід на високочастотну частину лінії рівного ступеню затухання, для чого приймається явно завищені значення Ті та довільне значення Крег. Ці настройки можуть попасти в зону аперіодичності (т.1 і відповідний перехідний процес 1) або значної коливальності (т.2, 2). Далі при Ті=const, змінюючи Крег, добиваються, щоб перехідний процес мав коливальну складову (т.3, 3) приψ=0,75÷0,9;

−    при Крег=const зменшенням Ті добиваються, щоб повністю зникла аперіодична складова (точки 4,5 та перехідні процеси 4,5). При наближенні до т.5 необхідно зменшити крок змінювання Крег;

−    зміною Крег при Ті=Тіopt добиваються потрібного ступеню коливальності (т.6,6).

Розроблено також наближені методи розрахунку настройок регуляторів, які дають перші оцінки цих параметрів. Часто динамічні властивості об’єкта можна подати у вигляді послідовного з’єднання двох елементарних ланок : аперіодичної та запізнювання. Тоді передаточна функція буде :

де: КокТtзп – відповідно коефіцієнт передачі об’єкта по каналу керування, постійна часу та час запізнювання можуть визначатись експериментально.

Другим наближеним методом розрахунку параметрів настройок регуляторів є метод незагасаючих коливань (в технічній літературі його називають методом Ціглера-Нікольса).

Тема 19. Синтез лінійних систем при випадкових сигналах.

 

19.1 Постановка задачі та характеристики випадкових сигналів.

 

В попередніх розділах функціонування САУ оцінювалось при дії детермінованих сигналів (ступінчаста функція, дельта-функція, гармонійний сигнал) і відповідно оцінювались показники якості перехідних процесів. Для виявлення загальних властивостей САУ та оцінок закономірностей їх функціонування такий підхід виправданий.

Для реальних систем зовнішні сигнали (збурення та завдання) є випадковими, значення яких мають ймовірнісний характер. Наприклад, змінювання витрат матеріальних потоків, їх концентрацій та температур і інш. Не передбачуваним чином змінюються і властивості об’єкта, наприклад коефіцієнти тепло- та масообміну, а також перешкоди, які діють в каналах вимірювання.

Випадкова величина характеризується тим, що її значення не можна точно передбачити, воно визначається не контрольованими причинами (наприклад, кидання монети).

Випадковий сигнал (процес) – функція часу, значення якої в кожний момент є випадковою величиною. В теорії ймовірностей користуються також рівнозначними термінами – “стохастичний процес” і “ймовірнісний процес”. Випадкові сигнали (процеси) на відміну від детермінованих не можна описати однією функцією часу, тому використовується множина характеристик, які в комплексі оцінюють ймовірнісні властивості сигналу.

Функція x(t), яку отримують за результатами експериментальних спостережень, називають реалізацією випадкового сигналу, а Т – довжина реалізації.

В теорії автоматичного управління використовують ряд характеристик випадкових сигналів, наприклад, математичне сподівання, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, кореляційні функції, спектральні щільності та інші. Приймається також ряд припущень та гіпотез. В першу чергу визначається стаціонарність випадкового сигналу. Стаціонарним випадковим сигналом називають такий, статистичні характеристики якого не змінюються з часом. Для нестаціонарного випадкового сигналу ці характеристики з часом змінюються.

Сутність статистичного підходу до аналізу і синтезу систем керування полягає в тому, що оцінки якості орієнтовані не на крайні, найбільш “важкі” умови роботи, які зустрічаються рідко, а на середні, найбільш ймовірні. При цьому необхідно врахувати, що при дії випадкових збурень в системі практично не наступає усталений режим, вона постійно переходить з одного режиму в інший. За такими ж законами змінюється регульована координата x(t) і сигнал похибки Dx(t) (в цьому випадку похибку позначають e(t)).

Математичний апарат аналізу стаціонарних випадкових процесів засновано на гіпотезі ергодичності. Це означає, що статистичні характеристики великої кількості довільно обраних реалізацій стаціонарного випадкового сигналу співпадають із статистичними характеристиками однієї реалізації достатньо великої довжини Т. Таким чином усереднення за множиною реалізацій стаціонарного випадкового сигналу можна замінити усередненням за часом  однієї, достатньо довгої реалізації. Це значно полегшує експериментальні дослідження статистичних характеристик стаціонарних сигналів та спрощує розрахунок систем.

Середнє значення випадкового сигналу на кінцевому інтервалі часу оцінюється так:

.

При Т®¥ з урахуванням гіпотези ергодичності середнє значення випадкового сигналу буде дорівнюватиматематичному сподіванню:

В практичних розрахунках знак lim опускається, а під характеристиками випадкового процесу розуміють їх оцінки.

При експериментальних дослідженнях реалізація випадкового сигналу задана N дискретними значеннями з інтервалом D. Тоді середнє значення наближено оцінюється так: 

стаціонарний випадковий сигнал можна розглядати як суму:

,

де mx – математичне сподівання,  - змінна складова.

Тоді:

Таку функцію називають центрованим випадковим процесом, його середнє значення дорівнюю нулю. Спектри сигналів Х(t) і  співпадають, тому часто в задачах аналізу та синтезу САУ замість X(t) можна використовувати , крім випадків, коли розглядаються ці стани окремо.

Дисперсія стаціонарного випадкового сигналу  дорівнює середньому значенню квадрата відхилень сигналу від математичного сподівання:

Дисперсія характеризує розкидання миттєвих значень сигналу навколо mx . Чим більші пульсації випадкового сигналу, тим більше дисперсія, яка має розмірність величини  в квадраті. Дисперсію можна розглядати також як середнє значення потужності змінної складової сигналу. Для оцінки міри розкидання випадкового сигналу можна використовувати середньоквадратичне відхилення

При розрахунку автоматичних систем важливим є така властивість: дисперсія суми або різниці незалежних випадкових сигналів дорівнює сумі дисперсій цих сигналів

Важливою ймовірнісною характеристикою випадкового процесу  є функція розподілу. Якщо прийняти, що для випадкової величини  ймовірність її значення має оцінку , то  функція розподілу буде:

Для неперервного випадкового процесу ймовірність того, що його значення потрапить у деякий проміжок,  визначається різницею функцій розподілу:

Похідна від функції розподілу

називається цільністю розподілу, або диференціальною функцією розподілу.

В практичних задачах приймаються нормальний, або гаусівський закон розподілу (рисунок 19.1).

 

Рисунок 19.1 – Щільність розподілу випадкової величини Х.

Крива щільності розподілу ймовірностей для випадкової величини симетрична відносно значення Хm (центру розподілу).

Математичне сподівання та дисперсія є важливими числовими оцінками випадкового сигналу, але вони не характеризують його повністю, наприклад за цими оцінками не можна отримати інформацію про швидкість змінювання сигналів з часом.

Кореляційна функція випадкового процесу Х(t) - математичне сподівання добутку миттєвих значень центрованого сигналу , розділених проміжком часу t:

Значення t змінюється від нуля до максимального tмакс. Кожному фіксованому значенню t відповідає числове значення функції  .

Для конкретного випадкового сигналу кореляційна функція (її називають також автокореляційною) характеризує ступінь тісноти  зв’язку (кореляції) між попередніми і наступними значеннями сигналу. При збільшенні t зв’язок між значеннями  і  зменшується, тому       також зменшується. При значнихt®¥ значення  і  практично незалежні.

Спектральна щільність стаціонарного випадкового сигналу  характеризує розподіл енергії серед його гармонік. Це  випливає з того, що на кінцевому інтервалі часу Т для функції існує пряме перетворення Фур’є:

Зображення Фур’є X() неперіодичного сигналу X(t) характеризує розподіл відносних амплітуд сигналу вздовж осі частот (спектральна щільність амплітуд), а функція  характеризує розподіл енергії сигналу серед його гармонік. Якщо поділити функцію  на довжину  випадкового сигналу, то це буде визначати розподіл потужності кінцевого сигналу серед його гармонік. Якщо , то функція  буде мати межу:

Це і є спектральна щільність потужності випадкового сигналу (в подальшому спектральна щільність). Можна стверджувати також, що  спектральна щільність випадкового сигналу X(t) характеризує розподіл квадратів відносних амплітуд гармонік сигналу вздовж осі w.

Методи аналізу і синтезу систем при випадкових сигналах об’єднуються в окремий розділ загальної теорії управління – статистичну динаміку, яка розглядає три взаємозв’язані проблеми:

−    визначення статистичних характеристик випадкових сигналів при заданій структурі системи та параметрах об’єкта і регулятора;

−    визначення оптимальних параметрів регулятора (в загальному вигляді – пристрою керування);

−    визначення оптимальної структури системи або пристою керування при відомих характеристиках зовнішніх сигналів.

Реальні випадкові процеси, які діють на об’єкти керування, мають різні властивості та характеристики. В задачах аналізу та синтезу САУ зручно використовувати типові випадкові сигнали, які мають відомі характеристики. Така ідеалізація часто використовується в теорії автоматичного керування: раніше розглядались типові детерміновані сигнали, типові елементарні ланки. Кореляційні функції і спектральні щільності типових сигналів – достатньо прості функції аргументів   і , а параметри цих функцій можна визначити за експериментальними даними. До типових випадкових сигналів відносяться:

−    білий шум з обмеженою широтою спектра. Спектральна щільність цього сигналу описується функцією:

де - інтенсивність білого шуму,  - смуга частот.

−    сигнал з експоненційною кореляційною функцією:

−    сигнал з експоненційно-косинусною кореляційною функцією:

 

19.2 Перетворення випадкового сигналу лінійною динамічною ланкою.

 

Якщо на вході лінійної стійкої ланки або системи діє стаціонарний випадковий сигнал, то на виході теж буде стаціонарний випадковий сигнал, але з іншими статистичними характеристиками – математичним сподіванням, дисперсією, кореляційною функцією та спектральною щільністю.

Вхідний та вихідний сигнали запишемо у вигляді

З урахуванням принципу суперпозиції для лінійних систем, можна прийняти, що кожна складова  визначається окремо: my- за результатом перетворення mx- за результатом перетворення . Тоді для оцінки my можна використати рівняння статики:

Для оцінки змінної складової  можна скористатись інтегралом згортки для моменту часу :

де:  - вагова функція.

В подальшому будуть розглядатись лише центровані сигнали, то значок “” опускається.

Фур’є – перетворення вагової функції буде

Взаємна кореляційна функція сигналів x(t) і у(t) має вигляд

Дане інтегральне співвідношення відоме як рівняння Вінера-Хопфа і співпадає за формою з інтегралом згортки, тому взаємну кореляційну функцію  можна розглядати як реакцію системи на сигнал, який має кореляційну функцію .

Якщо на вхід ланки або системи поступає випадковий сигнал у вигляді білого шуму, то вираз для  набуває виду:

,

а дисперсія вихідного сигналу:

визначається інтегралом від квадрату вагової функції. Якщо сигнал відрізняється від білого шуму, то в останнє рівняння потрібно підставити вагову функцію еквівалентної ланки, яка включає формуючий фільтр, тобто елемент, що задає (формує) потрібні характеристики випадкового процесу.

При розв’язанні задач аналізу і синтезу зручно користуватись співвідношеннями між спектральними характеристиками вхідного і вихідного сигналів. Взаємна спектральна щільність сигналів x(t) і у(t) зв’язані однозначно, що випливає з виразу:

Підставляючи замість  інтеграл Вінера-Хопфа, після перетворень отримують зручну залежність:

Це рівняння можна розв’язати відносно АФХ  і отримати характеристики об’єкта за експериментальними реалізаціями сигналів x(t) і у(t). Для цього спочатку обчислюють кореляційні функції  і , а потім переходять до спектральних щільностей .

Спектральна щільність вихідного сигналу буде:

Після перетворень отримують одну з найбільш важливих залежностей:

,

яка має  чіткий фізичний зміст: спектральна щільність вихідного сигналу дорівнює спектральній щільності вхідного, помноженому на квадрат амплітудно-частотної характеристики ланки (системи). Останній вираз можна отримати і з таких фізичних уявлень: АЧХ  при кожному значенні аргументу визначає відношення амплітуд гармонік вхідного і вихідного сигналів, а спектральні щільності  і  при фіксованих значеннях  дорівнюють квадратам відносних амплітуд гармонік.

Можна записати ще один важливий вираз:

Співвідношення є основою для введення поняття формуючого фільтра – динамічної ланки, яка перетворює вхідний сигнал у вигляді білого шуму в вихідний із заданими статистичними характеристиками. Приймаючи інтенсивність білого шуму  при всіх значеннях частоти , спектральна щільність сигналу  на виході формуючого фільтра буде:

,

тобто для отримання на виході фільтра випадкового сигналу з бажаною функцією  необхідно, щоб квадрат АЧХ фільтра дорівнював спектральній щільності сигналу, який формується з білого шуму. Послідовне з’єднання формуючого фільтра та досліджуваної ланки – еквівалентна ланка:

Метод формуючого фільтра полягає в тому, що при статистичному аналізі систем керування перед досліджуваною ланкою або системою включають формуючий фільтр з амплітудно-фазовою характеристикою, яка відповідає спектральним властивостям реального вхідного сигналу x(t) , а характеристики вихідного сигналу у(t) визначають при подачі на вхід еквівалентної ланки чи системи білого шуму. Такий перехід від дослідження реальної ланки до дослідження еквівалентної спрощує задачу аналізу. Наприклад, для визначення дисперсії вихідного сигналу досліджуваної ланки достатньо отримати вагову функцію  еквівалентної ланки, тоді :

,

або

.

 

19.3 Обчислення сигналу похибки замкненої системи. 
Мінімізація похибки.

 

Для алгоритмічної структури замкненої системи приймається, що на систему діють випадкові сигнали перешкоди  і збурення  з відомими спектральними щільностями  і . Сигнал завдання  також є випадковим із спектральною щільністю . Приймається, що всі три сигнали центровані, тому сигнал похибки  також центрований.

Якщо зовнішні сигнали не корельовані між собою, тоді:

,

де:  обумовлена неточним відтворенням сигналу завдання , а складові  і  - неповним подавленням перешкоди  і збурення .

Відповідно дисперсія сигналу похибки має три складові:

Кожну з цих дисперсій можна визначити незалежно одну від іншої:

Якщо зовнішні сигнали корельовані між собою, то складові похибки також будуть корельованими, а повну дисперсію можна знайти інтегруванням загальної спектральної щільності . При урахуванні конкретних значень  і  вирази дисперсій інтегрувати складно, тому використовуються наближені обчислення квадратичних інтегрованих оцінок. Для систем із запізнюванням застосовують заміну  дробово-раціональними функціями.

 

 

Рисунок 19.2 – Залежність дисперсії сигналу похибки від коефіцієнта передачі розімкненої системи

 

Як видно з рисунку 19.2, існує оптимальне значення коефіцієнта передачі системи , при якому дисперсія похибки  мінімальна. При цьому залежність складових  і  від   різна.

Синтез САУ при дії випадкових сигналів зводиться до виконання загальної вимоги: максимально точно відтворювати  та компенсувати чи зменшувати вплив збурення. Виконання умов точності можна звести до вимоги мінімізації дисперсії

або 

В задачі синтезу САУ при випадкових сигналах передбачається, що система повинна відтворювати не сам сигнал завдання , а деякий ідеальний сигнал :

де:  - заданий оператор (передаточна функція ідеального перетворення вхідного сигналу).

 

Вид оператора  залежить від призначення системи: в системах стабілізації та слідкуючих  Якщо в системі діє зворотній зв’язок з коефіцієнтом , то оператор . Перетворення сигналу  спотворюється дією перешкоди , тому сигнал на виході системи  відрізняється від ідеального на величину похибки  (). Таким чином, ставиться задача синтезу такої структури системи, яка забезпечує наближення до ідеального перетворення сигналу оператором . Ця задача з останньою умовою була розв’язана Н.Вінером. Передбачається, що вхідний сигнал  і перешкода  не корельовані між собою, тоді складові похибки  і  будуть незалежними, а спектральну щільність сигналу  можна визначити так:

де:  - відповідно амплітудно-фазові характеристики ідеального оператора і реальної системи.

Дисперсія сигналу похибки буде:

Дане рівняння приведено до виду, коли функція  входить в один доданок підінтегрального виразу:

 Умовою мінімуму  буде:

Звідки оптимальна передаточна функція замкненої системи:

Якщо перешкода відсутня, то:

Якщо інтенсивність перешкоди набагато більша рівня корисного сигналу, тобто вона є білим шумом і , то , а

,

тобто повторює форму кривої спектральної щільності завдання. 

Оцінка мінімальної дисперсії  визначається першим доданком підінтегрального виразу дисперсі сигналу, що приводить до висновку: гранично досяжна точність системи тим вища, чим менше перекриваються спектри сигналів завдання і перешкоди.

В більшості практичних задач залежність визначення похибки фізично не може реалізуватись повністю. Таким чином, отримані результати є теоретичною межею, до якої необхідно наблизити систему. Крім того, синтезована система повинна мати відповідні показники точності і при детермінованих сигналах. На точність системи впливають також запізнювання та рівень перешкоди 


Русский язык и культура речи

перейти к оглавлению

1. ЭЛЕМЕНТЫ И УРОВНИ ЯЗЫКА

Характеризуя язык как систему, необходимо определить, из каких элементов он состоит. В большинстве языков мира выделяются следующие единицы: фонема (звук), морфема, слово, словосочетание и предложение. Единицы языка неоднородны по своему строению: простые (фонемы) и сложные (словосочетания, предложения). При этом более сложные единицы всегда состоят из более простых.

Самая простая единица языка – это фонема, неделимая и сама по себе...

Политология. Универсальная шпаргалка

перейти к оглавлению

1. Место политологии среди гуманитарных наук

Политология развивается в тесном взаимодействии с другими гуманитарными науками. Их всех объединяет общий объект исследования — жизнь общества во всем многообразии ее конкретных проявлений.

Сегодня невозможно изучать сложные политические процессы, не учитывая взаимодействие общественных (гуманитарных) наук.

1) Политология тесно связана с экономикой. Экономика дает соответствующее обоснование реализации экономических...

законы диалектики

Основные законы диалектики.

1)Закон единства и борьбы противоположностей.

Этот закон является «ядром» диалектики, т.к. определяет источник развития, отвечает на вопрос, почему оно происходит.

Содержание закона: источник движения и развития мира находится в нем самом, в порождаемых им противоречиях.

Противоречие – это взаимодействие противоположных сторон, свойств и тенденций в составе той или иной системы или между системами. Диалектическое противоречие есть только там, где...

Математические формулы. Шпаргалка для ЕГЭ с математики

Формулы сокращенного умножения

(а+b)2 = a2 + 2ab + b2

(а-b)2 = a2 – 2ab + b2

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

a3 – b3 = (a-b)( a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a+b)( a2 – ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2+ b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b+ 3ab2- b3

Свойства степеней

a0 = 1 (a≠0)

am/n = (a≥0, n ε N, m ε N)

a- r = 1/ a r (a>0, r ε Q)

m...